บทที่ 1 เซต

    เซต   ใช้แทนกลุ่มของคน,สัตว์,สิ่งของ หรือสิ่งที่เราสนใจ เราใช้เครื่องหมายปีกกา“{ } ”
แสดงความเป็นเซต และสิ่งที่อยู่ภายในปีกกา  เราเรียกสมาชิกของเซต
เซตที่เท่ากัน
เซต 2 เซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อจำนวนสมาชิกและสมาชิกของทั้ง 2 เซต เหมือนกันทุกตัว
เช่น A={1,2,3}          B={1,2,3}     จะได้ A=B
เซตที่เทียบเท่ากัน
เซต 2 เซตจะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อ จำนวนสมาชิกของทั้ง 2 เซต เท่ากัน
เช่น  A={a,b,c}   ,     B={1,2,3}
จำนวนสมาชิกของ A= จำนวนสมาชิกของ B= 3 ตัว
n( A ) = n ( B ) = 3 
ดังนั้น A  เทียบเท่ากับเซต B
เซตจำกัด
เซตใดๆเป็นเซตจำกัดก็ต่อเมื่อ เรารู้จำนวนสมาชิกของเซตนั้นแน่นอน
เช่น  A={1,2,3,…,100}  จะได้ n(A)=100        A เป็นเซตจำกัด
เซตอนันต์
เซตใดๆ จะเป็นเซตอนันต์ ก็ต่อเมื่อ จำนวนสมาชิกของเซตนั้นมากจนหาค่าไม่ได้
เช่น A={1,2,3,…}   จะได้ A เป็นเซตอนันต์
เซตว่าง
เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย เช่น { } = 0    อ่านเพิ่มเติม

บทที่ 2 การให้เหตุผล

  การให้เหตุผลแบบอุปนัย  เป็นการให้เหตุผลโดยอาศัยข้อสังเกตหรือผลการทดลองจากหลาย ๆ ตัวอย่าง มาสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป  หรือคำพยากรณ์ ซึ่งจะเห็นว่าการจะนำเอาข้อสังเกต   หรือผลการทดลองจากบางหน่วยมาสนับสนุนให้ได้ข้อตกลง หรือ ข้อความทั่วไปซึ่งกินความถึงทุกหน่วย ย่อมไม่สมเหตุสมผล  เพราะเป็นการอนุมานเกินสิ่งที่กำหนดให้ ซึ่งหมายความว่า  การให้เหตุผลแบบอุปนัยจะต้องมีกฎของความสมเหตุสมผลเฉพาะของตนเอง  นั่นคือ  จะต้องมีข้อสังเกต หรือผลการทดลอง หรือ มีประสบการณ์ที่มากมายพอที่จะปักใจเชื่อได้  แต่ก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่ เหมือนกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย  ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าการให้เหตุผลแบบนิรนัยจะให้ความแน่นอน แต่การให้เหตุผลแบบอุปนัย  จะให้ความน่าจะเป็น
          ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย  เช่น  เราเคยเห็นว่ามีปลาจำนวนมากที่ออกลูกเป็นไข่เราจึงอนุมานว่า "ปลาทุกชนิดออกลูกเป็นไข่"  ซึ่งกรณีนี้ถือว่าไม่สมเหตุสมผล  ทั้งนี้เพราะ ข้อสังเกต  หรือ  ตัวอย่างที่พบยังไม่มากพอที่จะสรุป  เพราะโดยข้อเท็จจริงแล้วมีปลาบางชนิดที่ออกลูกเป็นตัว  เช่น  ปลาหางนกยูง เป็นต้น
         โดยทั่วไปการให้เหตุผลแบบอุปนัยนี้  มักนิยมใช้ในการศึกษาค้นคว้าคุณสมบัติต่าง ๆ ทางด้านวิทยาศาสตร์  เช่น ข้อสรุปว่า  สารสกัดจากสะเดาสามารถใช้เป็นยากำจัดศัตรูพืชได้ ซึ่งข้อสรุปดังกล่าวมาจากการทำการทดลอง ซ้ำ ๆ กันหลาย ๆ ครั้ง  แล้วได้ผลการทดลองที่ตรงกันหรือในทางคณิตศาสตร์จะใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย  ในการสร้างสัจพจน์ เช่น  เมื่อเราทดลองลากเส้นตรงสองเส้นให้ตัดกัน  เราก็พบว่าเส้นตรงสองเส้นจะตัดกันเพียงจุด ๆ เดียวเท่านั้น  ไม่ว่าจะทดลองลากกี่ครั้งก็ตาม  เราก็อนุมานว่า    "เส้นตรงสองเส้นตัดกันเพียงจุดจุดเดียว"

 2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย
                 เป็นการนำความรู้พื้นฐานที่อาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฏ หรือบทนิยาม  ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและยอมรับว่าเป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป   อ่านเพิ่มเติม

  

บทที่ 3 จำนวนจริง

เซตของจำนวนจริงประกอบด้วยสับเซตที่สำคัญ  ได้แก่
- เซตของจำนวนนับ/ เซตของจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วย  I
                   I = {1,2,3…}
- เซตของจำนวนเต็มลบ  เขียนแทนด้วย  I
- เซตของจำนวนเต็ม เขียนแทนด้วย I
                   I = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3…}
- เซตของจำนวนตรรกยะ : เซตของจำนวนจริงที่สามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วน      โดยที่ a,b เป็นจำนวนเต็ม  และ b = 0
- เซตของจำนวนอตรรกยะ : จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรยะ ซึ่งไม่สมารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ แต่สามารถเขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ และสามารถกำหนดค่าโดยประมาณได้
         ตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ
                   = 1.4142135…   มีค่าประมาณ    1.414
                   = 1.4422495…   มีค่าประมาณ    1.442
                   = -0.8660254…  มีค่าประมาณ    -0.866
                   = 3.14159265…  มีค่าประมาณ    3.1416    อ่านเพิ่มเติม

 

บทที่ 4 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

  ในชีวิตประจำวันจะพบสิ่งที่มีความเกี่ยวข้องกันอยู่เสมอ  เช่น  สินค้ากับราคาสินค้าคนไทยทุกคนจะต้องมีเลขประจำตัวประชาชนเป็นของตนเอง  ตัวอย่างที่กล่าวมาเป็นตัวอย่างที่แสดงความสัมพันธ์ของสิ่งสองสิ่งที่มาเกี่ยวข้องกันภายใต้กฎเกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่ง  สำหรับในวิชาคณิตศาสตร์มีสิ่งที่แสดงความสัมพันธ์ดังตัวอย่างต่อไปนี้

         พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ ครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของฐานและความสูงของรูปสามเหลี่ยม 0น้อยกว่า หนึ่ง

           {1,2} ไม่เท่ากับ {12}
     ถ้าจะจับคู่ระหว่างสิ่งสองสิ่งที่มีความสัมพันธ์กัน  เช่น  จับคู่ระหว่างจำนวนนับ  a และ       

ซึ่งเป็นอินเวอร์สการคูณของ a แล้วเขียนในวงเล็บ  เช่น 2,  3,  4, 5, สิ่งที่ได้เหล่านี้เรียกว่า คู่อันดับ แต่ละคู่อันดับประกอบด้วยสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลัง  จากตัวอย่าง  2,3,4  และ  5  เป็นสมาชิกตัวหน้า  และ ,,  และ เป็นสมาชิกตัวหลัง  ถ้าสลับที่สมาชิกตัวหน้าและตัวหลัง  เช่น  จาก 2, เป็น ,2 สิ่งที่ได้ก็จะผิดความหมายเดิมที่กำหนดไว้         ในวิชาคณิตศาสตร์จะเขียนคู่อันดับในรูป  (a,b)  โดยที่  a  เป็นสมาชิกตัวหน้าและ  b  เป็นสมาชิกตัวหลัง  คู่อันดับสองคู่อันดับใดๆ  จะเท่ากันเมื่อสมาชิกตัวหน้าเท่ากันและสมาชิกตัวหลังเท่ากัน  หรือ  (a,b)  =  (c,d)  เมื่อ  a  =  c  และ  b = d

           ให้  A  =  {1,2,3}  และ  B  =  {a , b}

เขียนคู่อันดับโดยให้สมาชิกตัวหน้าเป็นสมาชิกของเซต  A  และสมาชิกตัวหลังเป็นสมาชิกของเซต  B  แล้วจะได้คู่อันดับทั้งหมดดังนี้

           (1,a) , (1,b) , (2,a) , (2,b) , (3,a) , (3,b)

           และเซตของคู่อันดับทั้งหมดคือ

           {(1,a) , (1,b) , (2,a) , (2,b) , (3,a), (3,b)}

           เรียกเซตนี้ว่า ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต  A  และ  B  เขียนแทนด้วย  A x B  อ่านว่า  “เอคูณบี”

           จากตัวอย่างที่กล่าวมา  A x B = {(1,a) , (1,b) , (2,a) , (2,b) , (3,a), (3,b)}  อ่านเพิ่มเติม